行測(cè)數(shù)量關(guān)系之揭秘余數(shù)問題
近年來公務(wù)員考試競爭愈發(fā)激烈，行測(cè)數(shù)量關(guān)系的重要性逐漸凸顯出來，提升數(shù)量的拿分率成為考生彎道超車的方法之一。數(shù)量關(guān)系中，余數(shù)問題難度不大，出現(xiàn)頻率較高，但面對(duì)這類題目很多同學(xué)直接代入悶頭算數(shù)，這樣不僅計(jì)算量大，還會(huì)花費(fèi)很多時(shí)間。今天教給大家?guī)讉€(gè)技巧，讓大家學(xué)著掌握數(shù)據(jù)特點(diǎn)，從而減少計(jì)算量、節(jié)省時(shí)間，在數(shù)量關(guān)系這一部分取得進(jìn)步和提升。
一、了解余數(shù)問題
1.余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)。
2.題型特征：利用余數(shù)的特性來解決的題目稱為余數(shù)問題。
二、掌握解題技巧
和同加和，差同減差，余同加余，最小公倍數(shù)做周期。
余數(shù)問題常用解題方法
對(duì)于余數(shù)問題，我們常常會(huì)用到代入排除和倍數(shù)特性這兩種方法。前者就是直接將選項(xiàng)代入到題干所給的信息當(dāng)中去，驗(yàn)證是否與一直條件相符；后者主要是利用“多退少補(bǔ)”轉(zhuǎn)化成整除問題，例如一筐蘋果，每人分10個(gè)，還剩3個(gè)，那么（蘋果總數(shù)-3）是10的倍數(shù)。
【例題1】不超過100名的小朋友站成一列。如果從第一人開始依次按1，2，3，…，9的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后一名小朋友報(bào)的是7；如果按1，2，3，…，11的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后一名小朋友報(bào)的是9，那么一共有多少名小朋友（ ）？
A.98 B.97 C.96 D.95
【答案】B【解析】本題考查余數(shù)問題，可以用代入排除法。根據(jù)如果從第一人開始依次按1，2，3，…，9的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后一名小朋友報(bào)的是7，則所求答案-7為9的倍數(shù)；根據(jù)如果按1，2，3，…，11的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后一名小朋友報(bào)的是9，則所求答案-9為11的倍數(shù)。A項(xiàng)，98-7=91不能被9整除，不符合題意。B項(xiàng)，97-7=90，90÷9=10，能整除，97-9=88，88÷11=8，能整除，符合題意。
因此，選擇B選項(xiàng)。
面對(duì)同余問題，考慮同余定理
同余問題定理即余同加余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)作周期。具體來說包括：
余同加余：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，這個(gè)數(shù)是60n+1
和同加和：一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，這個(gè)數(shù)是60n+7
差同減差：一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5，這個(gè)數(shù)是60n-1
（3、4、5最小公倍數(shù)為60，n為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負(fù)數(shù)。）
【例題2】苗苗有一堆草莓，樂樂也有一堆草莓。苗苗的草莓五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，最后剩兩個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，最后還是剩兩個(gè)；樂樂的草莓五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，最后剩四個(gè)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，最后剩三個(gè)。已知苗苗比樂樂多8個(gè)草莓，則苗苗的草莓?dāng)?shù)為：（ ）
A.72 B.87 C.92 D.107
【答案】D【解析】本題考查余數(shù)問題。根據(jù)余數(shù)口訣，苗苗的草莓?dāng)?shù)量剩2個(gè)，則苗苗的草莓個(gè)數(shù)應(yīng)是5和7的最小公倍數(shù)余2，即35n+2；同理，樂樂的草莓?dāng)?shù)量為30m+9。代入排除，苗苗的草莓?dāng)?shù)量只可能為37，72，107中的一個(gè)，又苗苗比樂樂多8個(gè)草莓，則樂樂的草莓?dāng)?shù)量為37-8=29、72-8=64、107-8=99。滿足30m+9，只有107。
因此，選擇D選項(xiàng)。
三、知識(shí)應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一：和同加和
用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)與除數(shù)的和相同，此時(shí)反求這個(gè)數(shù)，可以用除數(shù)的最小公倍數(shù)的n倍（n為正整數(shù)），即最小公倍數(shù)做周期，再加上這個(gè)相同的和表示。
【例1】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，這個(gè)數(shù)可能是（ ）？
A.88 B.127 C.189 D.224
【答案】B【解析】題目中余數(shù)與除數(shù)的和均為：4+3=5+2=6+1=7，此時(shí)，我們需要找到三個(gè)除數(shù)4、5、6的最小公倍數(shù)，即60。反求的這個(gè)數(shù)可以用這個(gè)最小公倍數(shù)的n倍，加上這個(gè)相同的和，即60n+7，結(jié)合選項(xiàng)只有B符合，本題選擇B。
知識(shí)點(diǎn)二：差同減差
用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)與除數(shù)的差相同，此時(shí)反求這個(gè)數(shù)，可以用除數(shù)的最小公倍數(shù)的n倍（n為正整數(shù)），即最小公倍數(shù)做周期，再減去這個(gè)相同的差表示。
【例2】一個(gè)數(shù)除以5余1，除以6余2，除以7余3，這個(gè)數(shù)可能是（ ）？
A.416 B.592 C.759 D.844
【答案】A【解析】題目中余數(shù)與除數(shù)的差均為：5-1=6-2=7-3=4，此時(shí)，我們需要找到三個(gè)除數(shù)5、6、7的最小公倍數(shù)，即210。反求的這個(gè)數(shù)可以用這個(gè)最小公倍數(shù)的n倍，減去這個(gè)相同的差，即210n-4，結(jié)合選項(xiàng)只有A符合，本題選擇A。
知識(shí)點(diǎn)三：余同加余
用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)相同，此時(shí)反求這個(gè)數(shù)，可以用除數(shù)的最小公倍數(shù)的n倍（n為正整數(shù)），即最小公倍數(shù)做周期，再加上這個(gè)相同的余數(shù)表示。
【例3】一個(gè)數(shù)除以3余1，除以4余1，除以6余1，這個(gè)數(shù)可能是（ ）？
A.71 B.97 C.104 D.123
【答案】B【解析】題目中，該數(shù)除以3、4、6余數(shù)均為1，此時(shí)，我們需要找到三個(gè)除數(shù)3、4、6的最小公倍數(shù)，即24。反求的這個(gè)數(shù)可以用這個(gè)最小公倍數(shù)的n倍，再加上這個(gè)相同的余數(shù)，即24n+1，結(jié)合選項(xiàng)只有B符合，本題選擇B。
答題時(shí)間寶貴，多一分鐘或許就有機(jī)會(huì)去做出多一分的分值，也就能多一分的勝算，所以比起直接代入算數(shù)，不妨根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)合理分析，再快速鎖定選項(xiàng)。
針對(duì)余數(shù)問題，幫助大家編了一個(gè)小口訣，請(qǐng)大家牢記：余數(shù)除數(shù)和相同，最小公倍加上和；余數(shù)除數(shù)差相同，最小公倍減去差；除完余數(shù)均相同，最小公倍加余數(shù)。
